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セグレ埋め込みと射影多様体の積(1)~代数幾何学~

ここでは、射影多様体同士の積を定義するために必要な、セグレ埋め込みを考察します。セグレ埋め込みとは大雑把に言えば、二つの射影多様体の直積集合を次元の大きい射影空間に埋め込んで、いい感じに位相を入れることです。

 

局所閉集合の三つの同値な定義

 

代数幾何学に於ける準アファイン多様体或いは準射影多様体とは、要するに、開集合と既約な閉集合の交わりです。まず、基本的な事実を確認していきましょう。

 

命題:

位相空間に於いて、既約集合の開集合は既約である。

 

証明:背理法により示す。が既約でないとすれば、及びが真にに含まれるようなの閉集合となるものがとれる。明らかに、の閉集合で、が成り立つのでは既約でない。

 

命題:

位相空間に於いて、既約集合の閉包も既約である。

 

証明:背理法により示す。閉包が既約でないとすると、との交わりが真にに含まれるようなの閉集合があってとなる。よってとなる。が既約であるから、または、つまりまたはが成り立つが、閉包の定義(集合を包む全ての閉集合の共通部分)によりまたはとなる。これは仮定に矛盾。

 

命題:

位相空間に於いて、既約成分(極大な既約集合)は閉である。

 

証明:既約成分の閉包をとると、これも既約である。の極大性により、でなければならない。

 

命題:

任意の位相空間には既約成分が存在する。

 

証明:

任意にをとる。を含む既約集合の全体を考える。例えばもそのような条件を充たし、これは空でない。には包含関係により順序が入る。の適当な全順序集合に対し、の各元の合併の閉包をと置く。は既約である。実際、既約でないとすればとの交わりが真にに含まれるような閉集合となるが、の各元に対しで、は既約であることによりまたはが成り立つ。故にのいずれかはの各元の合併を含み、よってその閉包に含まれる。これは仮定に矛盾。即ち、の上界であり、ツォルンの補題によりには極大元が存在する。これはを含むの既約成分である。

 

以下に述べる同値な定義の内の一つを述べると、局所閉集合とは開集合と閉集合の交わりです。ザリスキ位相に於いて、局所閉集合の閉包が既約であるならば、これは準アファイン多様体或いは準射影多様体になることが分かります。感覚を摑むため、まずは局所閉集合について考察しましょう。位相空間の部分集合が局所閉であることについての、以下の三つの定義が同値であることを観察します。

 

命題:

集合について、以下は同値である。

 

任意のに対してが部分空間の閉集合であるようなの近傍が存在する。

開集合と閉集合の共通部分の形で表せる。

その閉包の開部分集合である。

 

証明:

開集合と閉集合の共通部分は、任意のに対して の閉集合となる。

に対しての近傍の閉集合が存在し、と書ける。となる開集合をとると、が成り立つ。よってが言えて

となることより、と置くことにより

となることが言える。従って、局所閉であることは閉集合と開集合の共通部分で書けることと同値であることが分かる。

は明らか。

局所閉集合に対してその閉包をとると

となり、はその閉包の開部分集合。

 

ある位相空間の部分集合が局所閉であるとは、上で述べた三つの同値な条件の内の一つ(よって全て)を充たすものと定義します。

 

セグレ埋め込み

 

ある準アファイン様体または準射影多様体の局所閉集合は、やはり準アファイン多様体または準射影多様体です。ここで、射影空間の元の順序対に、としての元を対応付ける写像を考えます。はその形から単射であることが分かり、これをセグレ埋め込みと言います。セグレ埋め込みの例は、[2]ハーツホーン-代数幾何学1のp.18演習問題2.15にありますが、ここではによるの像が射影多様体であることを示しましょう。

 

証明:

まずの斉次座標として、に対応付ける準同型の核をとすると、は明らか。逆にとすると、となるがある。の元として特にを選考えると、の任意の代表元は

なる関係を充たす。よって、とするととなることから、が言える。これは、射影空間同士のセグレ埋め込みが閉集合となっていることを示す。

 

次に、より一般に、準射影多様体同士の積が準射影多様体となり、(圏論的に)いい性質を持つことを証明するため、その準備として、で定義されるの閉集合、で定義されるの閉集合として、と同型であることに注意しましょう。これにより準射影多様体同士の積を被覆し、アファイン多様体に於ける議論([2]の演習問題3.14参照)を援用することが可能になります。しかし、これは簡単に確認することができます。以下に証明なしで纏めておきます。

 

命題:

は同型である。

 

セグレ埋め込みと射影多様体の積(2)~代数幾何学~

https://tech.j-ij.com/entry/2021/03/27/152104

に続きます。

(2)では射影多様体の積、つまりセグレ埋め込みに位相構造を入れたものを考察し、射影空間の部分集合として射影多様体になっていることを理解します。